Всероссийская олимпиада школьников по математике, 2017-2018. 5 класс. Ответы
5.1. Замените буквы цифрами так, чтобы все равенства стали верными:
А x Р = И – Ф = М : Е = Т – И = К : А
Одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, разным буквам – разные цифры.
Ответ: 2x1=7-5=6:3=9-7=4:2
А-2; Р-1; К-4; И-7; Ф-5; Т-9; М-6; Е-3.
5.2. В прошлом году в школьной математической олимпиаде участвовали 58 пятиклассников. Сумма их возрастов составляла 641 год. А чему будет равна сумма их возрастов ровно через два года?
Ответ: 757 лет.
Решение: Возраст каждого из учеников увеличится на 2. Значит, сумма возрастов вырастет на 58x2=116 лет. Поэтому вместе им будет 641+116=757 лет.
5.3. Разрежьте квадрат на 4 равные части так, чтобы на каждую часть попало по одному заштрихованному квадрату.
5.4. Вася и Петя, поссорившись, разбежались с одинаковыми скоростями в противоположных направлениях. Через 5 минут Вася спохватился, повернул назад, и, увеличив скорость, побежал догонять Петю. Во сколько раз увеличил скорость Вася, если он догнал Петю через 5 минут после того как повернул назад?
Ответ: в 3 раза.
Пусть О – место ссоры, В и Р точки, в которых соответственно находились Вася и Петя через 5 минут после ссоры.
За следующие 5 минут Петя пробежал расстояние равное ОР и оказался в точке К. Значит, Вася должен был за это же время пробежать расстояние ВК, которое в три раза больше, чем РК. Следовательно, его скорость должна быть в три раза больше, чем у Пети.
5.5. Каждый из собравшихся на площади жителей заявил остальным: «Все вы – лжецы». Сколько рыцарей среди них? Рыцари говорят правду, а лжецы всегда лгут.
Ответ: 1 рыцарь.
Решение: Если рыцарей больше одного, то люди на площади не все лгут, значит, рыцарь лжёт, что неверно. Если рыцарей нет, то все говорят правду, что также неверно. Значит, рыцарь один.